图像特征之LoG算子与DoG算子

LoG(Laplacian of Gaussian)算子和DoG(Difference of Gaussian)算子是图像处理中实现极值点检测(Blob Detection)的两种方法。通过利用高斯函数卷积操作进行尺度变换，可以在不同的尺度空间检测到关键点(Key Point)或兴趣点(Interest Point)，实现尺度不变性(Scale invariance)的特征点检测。

Laplacian of Gaussian(LoG)

Laplace算子通过对图像求取二阶导数的零交叉点(zero-cross)来进行边缘检测，其计算公式如下：
$$\nabla ^2 f(x,y)=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}$$
由于微分运算对噪声比较敏感，可以先对图像进行高斯平滑滤波，再使用Laplace算子进行边缘检测，以降低噪声的影响。由此便形成了用于极值点检测的LoG算子。常用的二维高斯函数如下：
$$G_\sigma(x,y)=\dfrac{1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}} exp(-\dfrac{x^2+y^2}{2\sigma ^2})$$
原图像与高斯核函数卷积后再做laplace运算
$$\Delta [G_\sigma(x,y) \ast f(x,y)]=[\Delta G_\sigma(x,y)] \ast f(x,y)$$
$$LoG = \Delta G_\sigma(x,y)=\dfrac{\partial^2 G_\sigma(x,y)}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 G_\sigma(x,y)}{\partial y^2}=\dfrac{x^2+y^2-2\sigma^2}{\sigma^4}e^{-(x^2+y^2)/2\sigma^2}$$
所以先对高斯核函数求取二阶导数，再与原图像进行卷积操作。由于高斯函数是圆对称的，因此LoG算子可以有效地实现极值点或局部极值区域的检测。

Difference of Gaussian(DoG)

DoG算子是高斯函数的差分，具体到图像中，就是将图像在不同参数下的高斯滤波结果相减，得到差分图。DoG算子的表达式如下：
$$DoG = G_{\sigma_1} - G_{\sigma_2}=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} [\dfrac{1}{\sigma_1} e^{-(x^2+y^2)/2\sigma_1^2} - \dfrac{1}{\sigma_2} e^{-(x^2+y^2)/2\sigma_2^2}]$$
如果将高斯核函数的形式表示为
$$G_\sigma(x,y)=\dfrac{1}{2\pi \sigma ^{2}} exp(-\dfrac{x^2+y^2}{2\sigma ^2})$$
则存在以下等式
$$\dfrac{\partial G}{\partial \sigma} = \sigma \nabla ^2 G$$
$$\dfrac{\partial G}{\partial \sigma} \approx \dfrac{G(x,y,k\sigma)-G(x,y,\sigma)}{k\sigma-\sigma}$$
因此有
$$G(x,y,k\sigma)-G(x,y,\sigma) \approx (k-1)\sigma^2 \nabla ^2 G$$
其中$k-1$是个常数，不影响极值点的检测，LoG算子和DoG算子的函数波形对比如下图所示，由于高斯差分的计算更加简单，因此可用DoG算子近似替代LoG算子